Luogu-P7113-排水系统

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题目 P7113 [NOIP2020] 排水系统

思路：拓扑排序，最小公倍数lcm，最大公因数gcd

分数的处理

注意到：从一个点出发，可以分流成 1∼51 \sim 5 支。

所以只要保证任意时刻，水量都是分流数量的倍数即可。

同时，因为本题的分流深度最大为 1111（含最末端的一层），所以只要保证开始的水量能被 1111 个以内的 1,2,3,4,51,2,3,4,5 整除，也就是 (1⋅2⋅3⋅4⋅5)11\left( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \right)^{11} 即可。

但是由于 44 是 22 的倍数，所以只要保证能被 4114^{11} 整除，就一定能被 2112^{11} 整除。

所以，水量只需要为 (3⋅4⋅5)11\left(3 \cdot 4 \cdot 5 \right)^{11} 即可。

由于以上数字过大，所以需要写高精度或使用int128类型。

高精度需要处理加法，除法（高精除以高精，试商需要乘法和减法），gcd（需要减法），此处我选用int128类型，暂不提供高精做法。

关于int128类型的使用，见算法-int128。

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__int128_t INITIAL = 1;

int main(){
    // ...
    for(int i = 1; i <= 11; i++){
        INITIAL *= 3;
        INITIAL *= 4;
        INITIAL *= 5;
    }
    // ...
}

排水处理

注意到此题是一个有向无环图，所以只需要从每一个入度为 00 的点出发分流即可。

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vector<int> connect[N];
int in[N];
__int128_t water[N];

int main(){
    // ...
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> d;
        for(int j = 0; j < d; j++){
            cin >> x;
            in[x]++;
            connect[i].push_back(x);
        }
    }
    queue<int> q;
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        q.push(i);
        water[i] = INITIAL;
    }
    while(q.size()){
        int from = q.front();
        q.pop();
        const __int128_t flown = water[from] / connect[from].size();
        for(int to : connect[from]){
            in[to]--;
            water[to] += flown;
            if(!in[to] && connect[to].size()) q.push(to);
        }
        water[from] = 0;
    }
    // ...
}

约分

现在有了每个出水口的水量（分子）和初始水量（分母），它们的gcd就是要约掉的数。

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__int128_t gcd = __gcd(INITIAL, water[i]);
cout << to_str(water[i] / gcd) << ' ' << to_str(INITIAL / gcd) << endl;

AC Code

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// template v12
#include <bits/stdc++.h>
#define set(x, y) memset(x, y, sizeof x)

using namespace std;
using ll = long long;

const int inf = 0x7f7f7f7f;

const int N = 1e5 + 10;
const int M = 6;

vector<int> connect[N];
vector<int> prn;

int in[N];

__int128_t water[N];

__int128_t INITIAL = 1;

string to_str(__int128_t x){
    if(x < 10) return to_string((int)x);
    else return to_str(x / 10) + to_string((int)(x % 10));
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("water1.in", "r", stdin);
    freopen("water.out", "w", stdout);
#endif
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    int d, x;
    for(int i = 1; i <= 11; i++){
        INITIAL *= 3;
        INITIAL *= 4;
        INITIAL *= 5;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> d;
        for(int j = 0; j < d; j++){
            cin >> x;
            in[x]++;
            connect[i].push_back(x);
        }
    }
    queue<int> q;
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        q.push(i);
        water[i] = INITIAL;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        if(!connect[i].size()) prn.push_back(i);
    }
    while(q.size()){
        int from = q.front();
        q.pop();
        const __int128_t flown = water[from] / connect[from].size();
        for(int to : connect[from]){
            in[to]--;
            water[to] += flown;
            if(!in[to] && connect[to].size()) q.push(to);
        }
        water[from] = 0;
    }
    for(int i : prn){
        __int128_t gcd = __gcd(INITIAL, water[i]);
        cout << to_str(water[i] / gcd) << ' ' << to_str(INITIAL / gcd) << endl;
    }
    return 0;
}